曲面造型技术的现状和发展趋势

王国瑾

（浙江大学CAD&CG国家重点实验室，浙江大学应用数学系）

(amawgj@dial.zju.edu.cn)

    曲面造型是计算机图形学和计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design)的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它肇源于飞机、船舶的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于六十年代奠定理论基础。经三十多年发展，现在它已经形成了以Bezier和B样条方法为代表的参数化特征设计和隐式代数曲面表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation) 、拟合(Fitting) 、逼近(Approximation)这三种手段为骨架的几何理论体系。我国学者在曲面造型技术的开发中投入了艰巨的劳动，取得了显著的成绩。其中值得提出的有复旦大学对参数曲线分类及形状控制的研究和对多元散乱数据逼近拟合的研究，中国科技大学对Bezier曲面凸性条件的研究和对隐式曲面算法的研究，浙江大学对曲面几何连续拼接理论的研究和对曲面几何逼近方法的研究等。以上学术成果已在国际计算机图形界占有重要的一席之地。

    随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的日益增强，随着几何设计对象向着多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢的趋势的日益明显，随着图形工业和制造工业迈向一体化、集成化和网络化步伐的日益加快，随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的日益完善，曲面造型在近几年来得到了长足的发展。这主要表现在研究领域的急剧扩展和表示方法的开拓创新。

一.从研究领域来看，曲面造型技术已从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面位差。

    曲面变形(Deformation or Shape Blending): 传统的非均匀有理B样条(NURBS)曲面模型，仅允许调整控制顶点或权因子来局部改变曲面形状，至多利用层次细化模型在曲面特定点进行直接操作；一些简单的基于参数曲线的曲面设计方法，如扫掠法(Sweeping)，蒙皮法(Skinning)，旋转法和拉伸法，也仅允许调整生成曲线来改变曲面形状。计算机动画业和实体造型业迫切需要发展与曲面表示方式无关的变形方法或形状调配方法，于是产生了自由变形（FFD）法，基于弹性变形或热弹性力学等物理模型(原理)的变形法，基于求解约束的变形法，基于几何约束的变形法等曲面变形技术和基于多面体对应关系或基于图象形态学中Minkowski和操作的曲面形状调配技术。最近，笔者及其学生刘利刚首创活动局部球面坐标插值的新思想，给出了空间点集内在变量的完整数学描述，从几何内在解的角度，设计了三维多面体和自由曲面形状调配的一整套快速有效的算法，画面流畅，交互实时，对三维曲面变形的技术难题实现了突破。

曲面重建(Reconstruction)：在精致的轿车车身设计或人脸-类雕塑曲面的动画制作中，常用油泥制模，再作三维型值点采样。在医学图象可视化中，也常用CT切片来得到人体脏器表面的三维数据点。从曲面上的部分采样信息来恢复原始曲面的几何模型，称为曲面重建。采样工具为：激光测距扫描器，医学成象仪，接触探测数字转换器，雷达或地震勘探仪器等。根据重建曲面的形式，它可分为函数型曲面重建和离散型曲面重建这两类。前者的代表工作有Eck于1996年建立的任意拓扑B样条曲面自动重建法和Sapidis于1995年创造的离散点集拟合法。后者的常用方法是建立离散点集的平面片逼近模型，如Hoppe于1992年和1994年先后创造的分片线性或分片光滑的曲面模型。对于后者，要求输出曲面具有正确的拓扑结构并且随着采样密度的增加而收敛到原始曲面。当重建曲面为闭曲面时，Miller等人发展出一种基于可变形模型的曲面重建方法。

近年来，浙江大学的汪国昭与陈凌钧等对人体下颌下腺及人体子宫内膜的切片图象创造了行之有效的曲面重建算法。1998年Amenta等人又提出了基于计算几何中Voronoi图和Delaunay三角化的全新的曲面重建算法，称为外壳(Crust)算法。这种算法的优点在于输出的离散曲面在细节区域具有密集点而在无特征的区域只有稀疏点。曲面重建的研究在最近几年形成了热潮，与层出不穷的各种三维采样设备的演示展销相配合，这几年国际图形学会议SIGGRAPH上有多篇文章对此进行专题报告。

    曲面简化(Simplification)：与曲面重建一样，这一研究领域目前也是国际热点之一。其基本思想在于从三维重建后的离散曲面或造型软件的输出结果（主要是三角网格）中去除冗余信息而又保证模型的准确度，以利于图形显示的实时性、数据存储的经济性和数据传输的快速性。对于多分辨率曲面模型而言，这一技术还有利于建立曲面的层次逼近模型，进行曲面的分层显示，分层传输和分层编辑。具体的曲面简化方法有：网格顶点剔除法，网格边界删除法，网格优化法，最大平面逼近多边形法以及参数化重新采样法。浙江大学的杨勋年1998年在其博士论文中采用基于球面三角形逼近的技术，对有15810个三角片构成的人脸模型作简化，在误差为3%的条件下，把三角形片数减少到2637个，取得了数据压缩的良好效果。

    曲面转换(Conversion)：同一张曲面可以表为不同的数学形式，这一思想不仅具有理论意义，而且具有工业应用的现实意义。例如，NURBS这种参数有理多项式曲面虽然包括了参数多项式曲面的一切优点，但也存在着微分运算繁琐费时、积分运算无法控制误差的局限性。而在曲面拼接及物性计算中，这两种运算是不可避免的。这就提出了把一张NURBS曲面转化成近似的多项式曲面的问题。同样的要求更体现在NURBS曲面设计系统与多项式曲面设计系统之间的数据传递和无纸化生产的工艺过程中。再如，在两张参数曲面的求交运算中，如果把其中一张曲面的NURBS形式转化为隐式，就容易得到方程的数值解。近几年来，国际图形界对曲面转换的研究主要集中在以下几方面：NURBS曲面用多项式曲面来逼近的算法及收敛性；Bezier曲线曲面的隐式化及其反问题；CONSURF飞机设计系统的Ball曲线向高维的各种推广形式的比较及互化；有理Bezier曲线曲面的降阶逼近算法及误差估计；NURBS曲面在三角域上与矩形域上的互相快速转化等。笔者和中国科技大学的陈发来及美国图形学专家Sederberg一起，对NURBS曲线的多项式逼近作了深入研究，而后浙江大学的汪国昭和郑建民又用围道积分法等三种方法给出收敛条件的证明，笔者的学生邱国贤对有理Bezier曲面多项式逼近推导了算法。在曲面隐式化问题中，Sederberg与陈发来首创动曲面法，使计算量减少数十倍且对有基点的曲面仍然有效，这一结果于1995年在SIGGRAPH会议上报告受到好评。与此同时，笔者与Sederberg运用新兴的Blossoming原理，无须利用多项式的结式理论，实现了n次有理Bezier曲线的隐式化。这一结果沟通了代数几何与计算几何这两大学科的联系。此外，清华大学的胡事民在浙江大学完成的博士论文中，提出并实现了Bezier三角曲面片裂变为三张矩形片的思想和算法，并发现了Wang-Ball曲线在递归和升降阶算法上均优于Said-Ball曲线。

    曲面位差(Offset)：也称为曲面等距性，它在计算机图形及加工中有广泛应用，因而成为这几年的热门课题之一。例如，数控机床的刀具路径设计就要研究曲线的等距性。但从数学表达式容易看出，一般而言，一条平面参数曲线的等距曲线不再是有理曲线，这就越出了通用的NURBS系统的使用范围，造成了软件设计的复杂性和数值计算的不稳定。为解决这一问题，十几年来国际图形界提出用简单曲线来逼近等距曲线的种种算法，这又带来了收敛性考核、计算不稳定、误差难控制等问题。那么，是否存在具有精确有理等距曲线的某种参数曲线(OR曲线)呢？1990年美国学者Farouki首次找到了某一类特殊的平面参数多项式曲线具有这种性质，称之为PH曲线。而到1993年，浙江大学的吕伟利用复分析法，重新参数化和代数几何技术，完整地给出了OR多项式和有理参数曲线的一般形式，彻底解决了平面曲线的等距线的有理化问题。这一结果使国际学者感到惊讶，而且在图形学和工业造型中具有潜在的应用价值。紧接着，浙江大学的郑建民又提出了广义PH曲线的定义，给出一个充要条件来刻划等距曲线和可以有理参数化的更一般的PH曲线。在曲面等距性问题上，吕伟于1996年证明了常用二次曲面的有理等距曲面均可用有理参数样条精确表示，设计了有理参数化算法；同年，他与奥地利学者Pottmann等，提出了直纹面的几何交互设计方法，揭示出有理直纹面的等距面可以有理参数化；同时，证明了脊线为有理样条曲线的管道曲面可以精确表示为有理样条曲面，并给出具体的参数化算法。曲线曲面的等距性还与机械学中的形位公差理论及区间曲线曲面有着密切的关系。今年来，笔者及其学生寿华好在区间曲线曲面的几何性质及几何逼近方面也开展了一些有意义的工作。

二．从表示方法来看，以网格细分(Subdivision)为特征的离散造型与传统的连续造型相比，大有后来居上的创新之势。而且，这种曲面造型方法在生动逼真的特征动画和雕塑曲面的设计加工中如鱼得水，得到了高度的运用。笔者刚从美国参加了1998年的SIGGRAPH会议回来。在这次国际图形界的盛会中，所报告的八篇有关曲面造型的论文除了有一篇是介绍几何体的变形方法以外，其余七篇均是关于曲面离散造型的算法或者在离散型曲面上精确求值及适当参数化的工作。特别是，有三篇论文都与Catmull和Clark在1978年所创立的用网格细分产生离散曲面的方法（以下简称C-C法）紧密相关。这种现象决不是偶然的，从这里我们可以看出当今国际图形界在曲面造型理论研究和实际应用中的热点所在。

    这三篇论文，第一篇是C-C细分曲面在任意参数上的精确求值，作者是J.stam; 第二篇是对C-C细分曲面作推广的非均匀递归细分曲面，作者是T.Sederberg和浙江大学的郑建民；第三篇是特征动画中的C-C细分曲面，作者是T.DeRose。下面，我们从介绍第三篇论文的写作背景和主要思想入手，来剖析网格细分的离散型曲面目前在国际上受到重用的原因。

    在1998年荣获奥斯卡大奖的电影作品中，有一个短片赫然在列，这就是美国著名的Pixar动画电影制片厂选送的作品"Geri's Game"。动画片描述了一个名叫Geri的老头，在公园里自己与自己下国际象棋，千方百计想取胜的诙谐故事。画面中人物和景色的造型细致生动，与故事情节浑然一体，使观众得到真正的美学享受。而这部动画片制作中的设计者，就是以上论文的作者，著名的计算机图形学家T.DeRose。

    DeRose在SIGGRAPH'98大会上报告的论文讲到了选用C-C细分曲面作为Geri老头特征造型模型的背景。他指出，NURBS尽管早已被国际标准组织ISO作为定义工业产品数据交换的STEP标准，在工业造型和动画制作中得到了广泛的应用，但仍然存在着局限性。单一的NURBS曲面，如其他参数曲面一样，限于表示在拓扑上等价于一张纸，一个圆柱面或一个圆环面的曲面，不能表示任意拓扑结构的曲面。为了表达特征动画中更复杂的形状，如人的头，人的手或人的服饰，我们面临着一场技术挑战。当然，我们可以用最普通的复杂光滑曲面的造型方法，例如对NURBS的修剪(Trimming)来对付。确实，目前已经存在一些商用系统，诸如Alias-Wavefront和SoftImage等可以做到这一点，但是它们至少会遭遇到以下的困难：第一，修剪是昂贵的，而且有数值误差；第二，要在曲面的接缝处保持光滑，即使是近似的平滑也是困难的，因为模型是活动的。而细分曲面有潜力克服以上两个困难，它们无须修剪，没有缝，活动模型的平滑度被自动地保证。

    DeRose成功地应用了C-C的细分曲面造型法，同时发明了构造光滑的变半径的轮廓线及合成物的实际技术，提出了在服饰模型中碰撞检测的有效新算法，构造了关于细分曲面的光滑因子场方法。凭借这些数学和软件基础，他形象逼真地表现了Geri老头的头壳，手指和衣服，包括茄克衫，裤子，领带和鞋子。这些都是传统的NURBS连续曲面造型所不易做到的。

    那么，C-C细分曲面是怎样构造的呢？它与传统的Doo-Sabin细分曲面异曲同工，都是从一个称之为控制网格(网格多半可用激光从手工模型上输入)的多面体开始，递归地计算新网格上的每个顶点，这些顶点都是原网格上某几个顶点的加权平均。如果多面体的一个面有n条边，细分一次后，这个面就会变成n个四边形。随着细分的不断进行，控制网格就被逐渐磨光，其极限状态就是一张自由曲面。它是无缝的，因而是平滑的，即使模型是活动的。这种方法显著地压缩了设计和建立一个原始模型的时间。更重要的，允许原始模型局部地精制化。这就是它优于连续曲面造型方法之处。

    C-C细分是基于四边形的，而Loop曲面(1987年)，蝶形曲面(1990年)是基于三角形的。它们都一样受到当今图形工作者的重用。

   注：(作者为浙江大学应用数学系教授，博士导师)